Биквадратное уравнение

Уравнение которое выглядит как ax⁴+bx²+c=0, называют Биквадратным уравнением. В нем х - неизвестная переменная. a,b,c -имеют различное числовое значение, где, а не равно нулю. Так же при х - стоящем в четвертой степени, коэффициент а - называется старшим, и х - стоящем во -второй степени, коэффициент b - называется вторым, с - является свободным членом.
Корнем биквадратного уравнения является значение х если при его использовании уравнение ax⁴+bx²+c превращается в ноль.

Действие с помощью которого находятся все корни уравнения или выясняется что таковых у него нет, называется - решением биквадратного уравнения.

Для решения биквадратного уравнения существует ряд действий, которые следует придерживаться.

Во-первых: Путем подстановки, где у=х², решаемое биквадратное уравнение переводим в квадратное ау²+bу+с=0.

Во-вторых: В полученном уравнении необходимо найти корни.

В-третьих: Произвести замену введенного нами значения х², путем приравнивания получившихся корней квадратного уравнения.

В- четвертых: После решения полученного уравнения, находим корни в биквадратном уравнении.

Для того чтобы все легче усвоилось, рассмотрим все описанное на нескольких примерах.

1) Дано уравнение 2х⁴ -19х²+9=0, оно биквадратное.
Производим замену х²=у, следовательно, х⁴=у²,
записываем получившееся 2у²-19у+9=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=2, b=-19,с=9.
Дискриминант уравнения: D = b² - 4ac= (-19)² - 4 * 2 * 9 = 361 - 72 = 289
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=289, что больше ноля. Находим их.

у₁ = (-b+ √D)/2a = (-(-19)+ √289)/(2*2) = (19+17)/4 = 36/4 = 9
y₂ = (-b- √D)/2a =(-(-19)±√289)/(2*2) = (19-17)/4 = 2/4 = 1/2
Производим замену х₁ =у₁, и х₂ =у₂
х₂=9 х2= 1/2
х_1,2 = +√9
х₁ = 3
х₂ =-3
х_3.4 = + √(1/2)
х₃ = 1/√2
х₄= - 1/√2

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х₁ = 3; х₂ =-3; х₃ = 1/√2; х₄= - 1/√2 .

2) Рассмотрим уравнение х⁴ +2х2-8=0
Производим замену х²=у, следовательно, х⁴=у²,
записываем получившееся у²+2у-8=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=1, b=2,с=-8.
Дискриминант уравнения: D = b² - 4ac=22 - 4 * 1 *(-8) = 4 + 32 = 36
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=36, что больше ноля. Находим их.

у₁ = (-b+ √D)/2a = (-2+ √36)/(2*1) = (-2+6)/2 = 4/2 = 2
y₂ = (-b- √D)/2a =(-2 - √36)/(2*1) = (-2-6)/2 = (-8)/2 = -4
Производим замену х2 =у1, и х2 =у2
х₁=2
х_1,2= +√2
х₃ = 4 (решения нет)

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х₁ =√2; х₂ = -√2

Из данного уравнения мы можем сделать вывод. Если при решении получается корень со знаком минус или у меньше ноля, больше его не рассматриваем. т.к. он не подходит нам по условию.

Для приведения многочлена к стандартному виду, во многих случаях используют формулы сокращенного умножения. Они решаются с помощью открытия скобок.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---