Решение логарифмических неравенств

Все, что говорилось выше про логарифмические уравнения полностью относится и к логарифмическим неравенствам. Даже определения аналогичны: логарифмическим называется неравенство, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции.

Решение логарифмических неравенств ведется таким же образом.

Поэтому сразу перейдем к примерам.

Требуется решить логарифмическое неравенство .

Решение.

Функция lgx может принимать любые действительные значения, поэтому избавиться от знаменателя простым умножением на lgx не получится.

Сразу же вспоминаем про ОДЗ. х находится под знаком логарифма, да еще и в знаменателе, поэтому ОДЗ: x>0 и x 1.

Попробуем преобразовать данное неравенство в такое, в котором справа стоял бы 0, а слева - дробь. Для удобства обозначим lgx через y:

Полученное неравенство равносильно совокупности 2-х систем неравенств:

(1)

(2)

Решаем систему (1).

Находим дискриминант:

D = 1-4*(-6) = 25

Тогда y₁ = 2 и y₂ = -3.

Таким образом, решением квадратного неравенства y ² + y – 6 >0 будет y < -3 и y > 2.

Учитывая условие y <0, остается одно решение. Получаем решение системы (1): y < -3.

Решаем систему (2). Здесь все то же самое, только знаки противоположные: y > -3 и y < 2. Учитывая условие y >0, получим решение системы (2): 0< y <2

Как видно, мы пришли к решению совокупности двух простейших логарифмических неравенств: , при этом не забываем, что х > 0.

Первое неравенство представим следующим образом: lg1 < lgx < lg100, откуда получим его решение: 1< x < 100.

Далее -3 = lg0,001, отсюда lgx < lg0,001.

Получаем решение второго неравенства: 0 < x < 0.001

Мы использовали то правило, что при основании >1, большему логарифму соответствует большее число.

Решения обоих простейших неравенств находятся в ОДЗ.

Ответ: 0 < x < 0.001; 1 < x < 100.