Таблица тригонометрических функций

Опять возвращаемся к пройденному: зная тригонометрическую функцию мы знаем соответствующий угол и наоборот.

Мы уже вскользь касались таблиц Брадиса. Между тем, эти таблицы бывают разные. Есть даже такие, где есть возможность узнать, например, sin49⁰8^,, достаточно выбрать необходимый угол и получить искомый результат. На сегодняшний день с помощью хорошего калькулятора можно вычислить любую тригонометрическую функцию за несколько секунд, но все-таки среди огромного количества таблиц и значений существует таблица с особыми углами. Об этих углах мы изучаем в школьной программе практически все, на них построена вся геометрия и тригонометрия, это их «основа основ». Если Вас спросят, например, чему равен sin40⁰, и вы не сможете ответить – не страшно, но если вы не будете знать значение синуса угла из числа особых, например, sin30⁰ - готовьтесь к плохой оценке.

Значения тригонометрических функций для таких особых углов свели в таблицу, широко известную как таблица тригонометрических функций. Таких особых углов насчитывается семнадцать, но их можно разделить на 3 группы. Рассмотрим их поближе.

Первая группа углов.

Сюда входят пять углов: 0⁰, 90⁰, 180⁰, 270⁰, 360⁰.

Вот так выглядит таблица с тригонометрических функций для этих углов:

Эту таблицу желательно знать наизусть, но гораздо проще и, главное, полезнее для ума уметь выводить их самостоятельно. Как? – спросите Вы. Воспользовавшись тригонометрическим кругом, который представляет собой обычный круг с центром, находящимся в нуле системы координат XY, с отмеченными табличными углами 0⁰, 90⁰, 180⁰, 270⁰, 360⁰:

Как видно из рисунка, особенность этих углов заключается в том, что они в точности попадают на оси координат. Так как круг занимает все 360⁰, углы 0⁰ и 360⁰ сходятся в одной точке, надеюсь, это понятно. Из этого вытекает одно очень полезное обстоятельство, что собственно и видно в таблице – тригонометрические функции у этих углов абсолютно одинаковы.

Допустим идет экзамен, и вот в ответственный момент Вас посетили смутные сомнения – синус 0⁰ равен 0 или 1? Вот тут-то Вас и спасет один чудный прием, с помощью которого Вы получите абсолютно правильный ответ, без каких бы то ни было сомнений.

Возьмем тот же злополучный sin0⁰, заодно и cos0⁰ посчитаем (именно с этими значениями обычно и случается путаница). Воспользуемся нашим кругом и нарисуем любой понравившийся угол х, но такой, который бы лежал в первой четверти. Далее отмечаем на осях sin и cos этого угла:

А теперь возьмем и уменьшим наш угол, вот так:

Что нам подсказывает логика? При уменьшении угла х синус также уменьшается. А косинус? Правильно – увеличивается. Что же произойдет с синусом, когда угол превратится в 0 и точка А окажется на оси Х? Он также исчезнет, т.е. станет равен 0. При этом косинус вырастет до длины подвижной части угла (радиуса тригонометрического круга), т.е. 1!

Вот мы и вычислили искомые синус и косинус нуля, причем быстро, а главное – надежно. Правда – очень удобно?

Аналогично можно вычислить синус 180⁰ или косинус 270⁰.

Как видите, эта группа углов не нуждается в заучивании, достаточно воспользоваться волшебным кругом, это ведь проще, чем искать таблицу или вспоминать – правильно или неправильно.

Это же касается тангенса и котангенса. Нарисуем на круге линию тангенса или котангенса и нам всё становится видно - где он равен нулю, а где - не существует.

Идем дальше.

Вторая группа углов.

Сюда относятся следующие углы: 30⁰, 45⁰ и 60⁰. Для них также существуют табличные значения тригонометрических функций:

Я вставил сюда значения для 0⁰ и 90⁰ для завершённости первой четверти круга, мы используем это в дальнейшем.

Эти значения также необходимо знать наизусть. Но и здесь есть одна полезная особенность. Значения синусов и косинусов совпадают с точностью до наоборот, т.е. при возрастании угла от 0⁰ до 90⁰ его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус наоборот – уменьшается от 1 до 0. Это же правило касается тангенсов и катангенсов, только значения другие. Получается, что достаточно записать это правило в память и учить станет намного меньше. Для остальных углов не из этой компании это правило уже не работает, скажем для 20⁰ или 40⁰.

Переходим к следующей группе.

Третья группа углов.

Сюда входят углы:120⁰, 135⁰, 150⁰, 210⁰, 225⁰, 240⁰, 300⁰, 315⁰, 330⁰. Для них просто надо твердо знать таблицу sin и cos.

Присмотревшись к этой группе углов, мы заметим, что она состоит из углов первых двух групп. Давайте проверим:

120⁰ = 90⁰ + 30⁰

135⁰ = 90⁰ + 45⁰

150⁰ = 90⁰ + 60⁰ и т.д.

Можно для разнообразия использовать не сумму, а разность:

120⁰ = 180⁰ - 60⁰

150⁰ = 180⁰ - 30⁰ и т.д.

Однако не будем спешить. Если Вы подумали, что это же правило действует и для синусов и косинусов, то Вы ошибаетесь. Синус суммы углов совсем не равен сумме синусов каждого угла. Но разложив угол третьей группы на сумму или разность углов из первой и второй групп мы упростим себе задачу нахождения соответствующей ему тригонометрической функции, причем не используя таблицу sin и cos.

Посмотрим, как это работает на практике. Допустим, надо найти cos150⁰.

Смотрим внимательно – из каких особых углов состоит наш угол. Советую выбирать в качестве угла из первой группы 180⁰ или 360⁰, потом станет понятно почему. Ближе всех расположен угол 180⁰:

150⁰ = 180⁰ - 30⁰

Далее нарисуем знакомый тригонометрический круг, отмечаем угол 150⁰ и получаем точку А на круге и смежный угол 30⁰. Другими словами, мы взяли подвижную сторону угла, на которой уместилась точка А, когда она находилась на оси Х, и отмотали по часовой стрелке на 30⁰. При этом получили вот такую картину:

Зелёным цветом мы обозначили угол 150⁰ и его cos, а красным - вспомогательный угол в 30⁰, правда отметили его мы не по правилам, что легко поправимо:

Правильные 30⁰ отсчитаны от положительной полуоси Х. Этот угол, как и его косинус, отметим синим цветом.

Сразу становится видно, что cos150⁰ равен cos30⁰, но с противоположным знаком, ведь треугольники справа и слева одинаковы. А уж cos30⁰ мы знаем, как табличный, и тогда:

cos150⁰ = - cos30⁰ = - /2

Аналогично можно найти sin150⁰. Снова воспользуемся тригонометрическим кругом, только теперь отмечаем синус угла синус на оси У:

И снова отмечаем правильный угол в 30⁰ и его синус. Опять мы видим, что sin 150⁰ и 30⁰ равны. Пускай углы в 30⁰ находятся вне треугольников, ведь всё равно, треугольники - одинаковые.

Получаем:

sin150⁰ = sin30⁰ = 1/2

Итак, к чему же мы пришли? Любой угол из третьей группы легко разлаживается на сумму или разность углов 180⁰ (или 360⁰) и 30, 45, 60 (смотря что подойдёт). Значит, мы всегда получим на тригонометрическом круге вспомогательный угол 30⁰, 45⁰ или 60⁰. И нет абсолютно никакой разницы, в какой из 4-х четвертей получится вспомогательный угол. Достаточно лишь изобразить правильный угол, расположенный в первой четверти, и найти одинаковые треугольники и сравнить их синусы (косинусы). Вот и все. И не надо зубрить таблицу тригонометрических функций для этих углов.

Еще небольшой примерчик.

Необходимо найти cos240⁰. Обойдемся без таблицы тригонометрических функций. Разложим угол на два:

240⁰ = 180⁰ + 60⁰

Рисуем тригонометрический круг:

Мы видим, что вспомогательный угол 60⁰ находится в третьей четверти, треугольники одинаковые, поэтому ясно, что cos240⁰ = cos60⁰, но со знаком "минус", т.к. попадает на отрицательную полуось Х. Получаем:

cos240⁰ = - cos60⁰ = -1/2

заметка: для изучающих иностранные языки курсы английского языка (http://www.anglo-club.ru/napravleniya-obucheniya.html) придутся кстати.